Matematinė Visata ir Visatinė Matematika

Šį rašinį Juozo Tumo-Vaižganto gimnazijos Romuvos padalinio mokinė Uršulė Tarvydytė parašė 2018m. vykusiam mokslo populiarinimo rašinių konkursui. Primename, kad panašių rašinių, publikuoti šiame puslapyje laukiame nuolatos. Juos siųskite [email protected]

Uršulė Tarvydytė

Ursule_Tarvydyte_1

Žmonija nuo neatmenų laikų stengėsi paaiškinti ir suprasti pasaulį aplink save. Iš pradžių tam buvo pasitelkta teologija, tačiau ilgainiui atsirado tokiais aiškinimu nepatenkintų žmonių ir jie pradėjo samprotauti apie giluminius pasaulio dėsnius ir jų priežastis naudodami filosofiją. Tačiau filosofija irgi nebuvo labai tiksli. Žodžiuose lengva pasimesti, bandant jais logiškai pagrįsti lengva apsigauti ir ką nors praleisti arba įtraukti savo subjektyvią nuomonę. Tad atsirado poreikis kalbos, sukurtos būtent pasauliui aprašyti. Tokia kalba turėtų būti kuo „lengvesnė“, t. y. remtis abstrakcijomis, o jos žodžiai turėtų tebūti lengvai pakeičiama notacija toms abstrakcijoms žymėti, neturėti bereikalingo „bagažo“ – tuščių žodžių, galimybių įterpti savo subjektyvią nuomonę. Būtent tokia kalba ir yra matematika.

Ši kalba įsitvirtino mūsų pasaulio suvokime palyginti neseniai, tik Galilėjaus gyvenimo laikotarpiu, taigi maždaug prieš keturis šimtus metų. Nuo tada mes nesusimąstydami ją vartojame aprašinėdami įvarius gamtos reiškinius ir bandydami numatyti jų rezultatus.

Tačiau, laikui bėgant, matematika atsiskyrė nuo fizinių mokslų ir pradėjo kurti realybės neatitinkančias koncepcijas, kurios vėliau pasirodė ne tokios jau jos ir neatitinkančios.
Viena tokių koncepcijų yra Riemanno geometrija. Ją sukūrė Bernhardas Riemannas, kai jam kilo mintis, kad gal gali būti, kad Euklidinė geometrija (įprasta geometrija, kurią matome visur aplinkui ir kurios mokoma mokykloje) negalioja visur. Pavyzdžiui, ant labai labai mažų dalelių, daug negu už mažiausias žinomas daleles. Tad gal ten viskas kitaip, gal ten gali susikirsti dvi lygiagrečios tiesės ar trikampio kampų suma gali būti ne 180o, o koks kitas skaičiui. Bet smagiausia šio istorijos dali yra tai, kad po keliasdešimties metų Albertas Einšteinas, ieškodamas kaip prie specialiosios reliatyvumo teorijos prijungti gravitaciją, sugalvojo, kad jam visai tinka šita matomame pasaulyje neegzistuojanti geometrija. Ir tokią jo prielaidą patvirtino eksperimentai.

Tokių pavyzdžių fizikoje yra daug. Grupės (tam tikri skaičių rinkiniai, sudaryti taip, kad atliekant sutartą operaciją tarp rinkinio narių galėtume gauti tam tikras sutartas reikšmes, kaip kad, pavyzdžiui, atlikti operaciją su dviem grupės nariais ir gauti tą patį skaičių) buvo sugalvotos matematiko Everisto Galua kaip būdas patikrinti ar daugianaris turi sprendinių. Po dviejų šimtų metų pasirodė, kad subatominės dalelės hadronai elgiasi kaip grupė, vadinama SU (3). Toks supratimas leido atsirasti teorijai, paaiškinančiai kodėl atomo branduolio dalelės laikosi kartu.

Matant tokius stebinančius matematikos atitikmenis su realia aplinka, natūraliai kyla klausimas „kaip taip gali būti, kad matematika – žmogaus proto išradimas, nesiremiantis realia patirtimi – taip gerai veikia, kai taikomas objektams fizinėje erdvėje?“ (šitaip jį suformulavo tas pats A. Einšteinas). Į šį klausimą nėra atsakymo, tik nuomonės. Ko gero, vertėtų pakalbėti apie keletą jų.

Visata yra matematinė struktūra ir dėl to matematika egzistuoja neatsiejamai nuo jos. Matematika jau yra, tik laukia, kol kas nors ją atras ir panaudos.

Toks požiūris vadinamas Platonizmu, o Visatos apibrėžimas kaip matematinės struktūros – matematinės Visatos hipoteze (1). Toks modelis imponuoja, kad bet kokia civilizacija anksčiau ar vėliau atras tokias pačias matematines teoremas, tik užrašys jas skirtingai, jei norės paaiškinti Visatą. Pavyzdžiui, galbūt ta kita civilizacija 2+2=4 užrašys kaip Θ΄Θ:▼ ar kokiu kitu būdu, kurį mums net sunku įsivaizduoti, tačiau jie vis dar turės omenyje tą pačių sudėtį ir tą patį atsakymą.

Tokio platonistai dažnai argumentuoja savo teisumą rodydami į fraktalus (begalinai pasikartojančius raštus) gamtoje, labai lengvai apsirašančius matematiškai, matematinių funkcijų pasirodymus gamtoje (tokius kaip susisukęs sraigės kiautas).Tokie pasakymai kontrargumentuojami žmogaus noru pastebėti modelius ten, kur jų nėra ir atsitiktinumais.

Antrasis požiūris sako, kad mes sukūrėme matematiką taip, kad ji atspindėtų mūsų matomą (ar eksperimentais stebimą) Visatą. Matematika tėra įrankis nuspėti tam tikrų Visatos reiškinių baigtį.
Jei šis požiūris yra teisingas, tai ta kita civilizacija galėtų gauti visai kitokias matematines gamtos dėsnių išraiškas. Teoriškai, jie galėtų susikurti visai kitokią matematiką nei mums pažįstama ir pagal ją skaičiuodami gauti eksperimentus atitinkančius rezultatus. Toks matematikos veikimo aiškinimas vadinamas formalizmu (2). Šis požiūris neturi argumentų, kurie jam prieštarautų, kaip ir tokių, kurie patvirtintų.

Tiesa, atsiranda žmonių, palaikančių požiūrį, iki galo neatitinkančių nė vieno iš jų.

Pavyzdžiui, Mario Livio (3), astrofizikas teoretikas iš Space Telescope Science Institute Baltimorėje, teigia, kad matematika yra ir atrandama, ir išrandama. Nors, sakydamas atrandama, jis turi ką kitą, negu platonistai.

M. Livio sako, kad tam tikros matematikos sritys atsiranda aktyviai – tam, kad aprašytų gamtą – ir tokiu atveju jų efektyvumas tą daryti visai nestebina. Vienos iš tokių sričių pavyzdžių yra diferencialinis skaičiavimas, išrastas Izaoko Niutono, kai jam prireikė aprašyti judėjimą suskirstant laiką į begalinai mažas dalis. Kitos sritys, sako mokslininkas, atsiranda pasyviai ir tik po to yra pritaikomos efektyviai aprašyti Visatai kartais net labai neįtikėtinais atvejais. Kad ir mazgų teorija. Ji tyrinėja mazgus, kone tokius pat kaip ir tokie, su kuriais susiduriame kasdieniame gyvenime, tačiau matematiniai mazgai neturi palaidų galų. Jie yra vientisi. 1860 m. Viljamas Tomsonas (dar žinomas lordo Kelvino vardu) tikėjosi paaiškinti atomus kaip matematinius eterio mazgelius. Deja, tai nepavyko, tačiau kiti matematikai toliau studijavo mazgų teoriją ir visai neseniai pasirodė, kad ji labai pravarti nagrinėjant stygas.

Matematinis mazgas neturi galų, yra sudarytas iš vientiso siūlo
Matematinis mazgas neturi galų, yra sudarytas iš vientiso siūlo

Tokio pasyvaus atsiradimo atvejų yra labai daug, labai daug jų nagrinėta ir šiame tekste. M. Livio pastebi pasyvaus atsiradimo istorijose pasikartojantį modelį: „žmonės suabstraktina savo aplinką – turėdami tikslą kažką pasiekti ar tiesiog įdomumo dėlei – ir išranda matematines koncepsijas, tokias kaip figūros, linijos, grupės, rinkiniai ir taip toliau. Tada jie atranda jų tarpusavio ryšius. /…/ šis išradimo ir atradimo procesas yra sukurtas žmonių, dirbtinis – ne taip, kaip atradimas, apie kurį kalba platonistai.“(4) pastebi astrofizikas.

Kitas požiūris, kurį išsako Judžinas Vigneris savo darbe „The Unreasonable Effectiveness of Mathemtics in the Natural Sciences “, yra, kad matematika veikia aprašant Visatą, nes mes nenorime priimti negražaus jos aprašymo (šią mintį jis pasiskolino iš A. Einšteino), o toji pati matematika, būdama žmogaus proto galingumą parodančio žaidimo produktas, yra labai graži. Tad fizikas, pamatęs kažkokį atitikimą gaunamuose rezultatuose su matematinėmis operacijomis, nusprendžia, kad tai, ką jis mato ir turi būti tos matematinės operacijos. Tokie „neteisingai“ parinkti modeliai netgi gali duoti su eksperimentais sutinkančius rezultatus. Pavyzdžiui, laisvųjų elektronų teorija – teorija netgi labai neblogai paaiškinanti kodėl laidininkai, puslaidininkiai ir izoliatoriai elgiasi taip, kaip elgiasi. Tiesą sakant, pavyzdžiui, kodėl izoliatoriai gali turėti net 1026 didesnę varžą nei laidininkai, ji paaiškina net geriau nei dabar mūsų naudojama teorija. Ir nėra jokio eksperimentinio įrodymo, kuris parodytų, kad varža nebus begalinė tokiomis sąlygomis, kokiomis ši teorija nurodo ją būsiant.

Tad, žinodami tokius dalykus galime pasitikėti matematika? Kaip galime pasitikėti jos veikimu, jei nesuprantame, kaip jis veikia? Lygiai taip, kaip ilgai pasitikėjome gravitacija, nesuprasdami, kodėl ji veikia, greičiausiai. Nes kol kas dar nebuvo žmogaus, kuris pašokęs nenukristų atgal. Taip pat ir matematika mūsų kol kas neapvylė.

Bet pabaikime šviesia citata iš to paties Judžino Vignerio teksto: „Matematikos kalbos tinkamumo suformuluoti fizikos dėsniams stebuklas yra nuostabi dovana, kurios mes nei suprantame, nei nusipelnome. Mes turėtume būti dėkingi už ją ir tikėtis, kad ji ir toliau veiks, o mes galėsime naudoti ją naujuose tyrimuose ir, kad ji išsiaugins (nežinia, ar nuo to geriau, ar blogiau) sukeldama mums malonumą ir, greičiausiai, iškeldama dar daugiau klausimų, į dar daugiau plačių pažinimo šakų“(5).

 

1 Matematinės Visatos hipotezę iškėlė Maksas Tegmarkas, o tarp platonizmo propaguotojų buvo tokie matematikai, kaip Godfrėjus Haroldas Hardis, Rodžeris Penrosas ir Kurtas Giodelis.
2 Tarp formalizmo pasekėjų buvo Albertas Einšteinas, Deividas Hilbertas ir Georgas Kantoras.
3 Scientific American, August 2011, Mario Livio, „Why Math Works“
4 Scientific American, August 2011, Mario Livio, „Why Math Works“, citata anglų kalba “/…/ humans invent mathematical concepts by way of abstracting elements from the world around them – shapes, lines, sets, groups, and so forth – either for some specific purpose or simply for fun. Then they go on to discover the connections among those concepts. /…/ this process of inventing and discovering is man-made – unlike the kind the Platonists subscribe…”
5 Communications in Pure and Applied Mathematics, Vol. 13, No. I (February 1960), Eugine Wigner, “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences”, citata anglų kalba “The miracle of the appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve. We should be grateful for it and hope that it will remain valid in future research and that it will extend, for better or for worse, to our pleasure, even though perhaps also to our bafflement, to wide branches of learning.”

%d bloggers like this: